Esse texto é, usando a Matemática como analogia, um ponto singular na produção desse blog, o que não deixa de ter seu interesse, pois se só tivéssemos pontos regulares em uma função, um dinamicista não acharia graça alguma.
Nas aulas sobre dízima periódica, eu demonstro um fato matemático simples, mas que não deixa de surpreender a maioria dos alunos. E essa foi a motivação para escrevê-lo aqui. A curiosidade é que a dízima periódica 0,999... é igual a 1. Atenção, eu não disse que é aproximadamente um, mas sim, exatamente um.
Esse é um problema da nossa escrita decimal, ou seja, uma única quantidade pode ser escrita de duas maneiras diferentes. Mas chega de lero-lero e vamos à demonstração.
Existem várias formas de se provar o fato descrito anteriormente, ou seja, que 0,999... = 1. Vou usar o que eu considero mais simples. Primeiramente, note que eu posso escrever o 0,999... como sendo a soma de três parcelas cujo valor é 0,333..., assim, temos:
0,999... = 0,333...+0,333...+0,333...
Agora, se calcularmos a divisão de um por três, encontraremos o valor 0,333... Portanto podemos reescrever a igualdade anterior substituindo o 0,333... por um terço.
0,999... = 1/3 + 1/3 + 1/3
Como a soma de um terço com um terço com um terço nos dá três terços, então a igualdade acima fica assim:
0,999... = 3/3
Agora, espero que todos saibam que a divisão de três por três nos dá um. Logo:
0,999... = 1
Como eu prefiro o pleonasmo e a redundância ao invés da falta de informação, vale lembrar que não se trata de uma aproximação, ou seja, o número 0,999... é exatamente igual a um. Espero ter surpreendido alguns de vocês. Sim, há coisas estranhas e curiosas na Matemática, ela não é só composta de contas.
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