Sobre o Princípio de Dirichlet.

Vou começar com os posts sobre matemática com uma demonstração curiosa.
Seria possível em um ambiente fechado (uma festinha, missa, rave etc) termos pelo menos duas pessoas com o mesmo número de amigos dentro desse ambiente?
Vou mostrar que não só é possível, como é necessário, ou seja, a frase acima é verdade sempre.
Para isso, vou usar o Princípio de Dirichlet, é bem simples. Vejamos:
O Princípio de Dirichlet diz que se tivermos n+1 objetos para colocar em n gavetas, então vai existir pelo menos uma gaveta com mais de um objeto. Fácil né!? (se tivermos 4 bermudas para colocar em 3 gavetas, então vai existir pelo menos uma gaveta com mais de uma bermuda).
Bom, com essa arma em mãos, vamos agora definir o que significa "amizade" aqui. Aqui a amizade é uma relação simétrica, ou seja, se eu sou amigo do João, então o João é meu amigo também.
Então suponha que em um ambiente fechado existam n pessoas. Se você escolher uma pessoa P, qual o número de amigos que ela pode ter dentro desse ambiente?
Bom, ela pode ter, no mínimo, zero amigos (triste, né!) e no máximo n-1 amigos (todas as outras, exceto ela mesma).
Portanto, o número de amigos da pessoa P é 0, 1, 2, ..., n-2 ou n-1.
Agora, se essa pessoa P tem zero amigos, você acha que pode ter outra pessoa P' (pessoa p-linha, bonito nome, heim) dentro desse ambiente com n-1 amigos? Não né! Por causa da reciprocidade, se a pessoa P' tem n-1 amigos, então ela é amiga da pessoa P, mas supomos que P não tem amigo algum, então não pode ocorrer simultaneamente duas pessoas que tenham 0 e n-1 amigos. Assim, o correto é o seguinte:
Número de amigos de uma pessoa dentro desse ambiente:
NA1 = 0, 1, 2, ..., n-2
ou
NA2 = 1, 2, 3, ..., n-1
Essas serão nossas gavetas, ou seja, se uma pessoa está na gaveta dois, significa que tem 2 amigos dentro desse ambiente. Se está na gaveta n-1, significa que ela é amiga de todas as outras, e assim por diante (gaveta significa número de amigos).
Portanto temos n pessoas para colocar em n-1 gavetas (tanto faz se for o caso de termos o NA1 ou o NA2), ou seja, pelo Princípio de Dirichlet, existe pelo menos uma gaveta com mais de uma pessoa, isso significa que existem, pelo menos, duas pessoas com o mesmo número de amigos.
Done!